Pembahasansoal UN fisika SMA/MA 2014 - Koordinat titik berat benda homogen. 1. Soal UN Fisika SMA/MA U-ZC-2013/2014 No.7. Letak koordinat titik berat benda homogen terhadap titik O pada gambar berikut adalah. Bagi benda menjadi tiga bagian, bagian 1 = persegi panjang, bagian 2 = persegi, bagian 3 = persegi panjang. Titikberat adalah suatu titik dimana resultan dari semua gaya terkonsentrasi pada satu titik. Manfaat titik berat dalam kehidupan sehari - hari yaitu untuk menentukan titik 5 Soal dan Pembahasan Titik Berat Benda Homogen. Pembahasan Soal; 13 Februari 2021; Berikut ini adalah soal dan pembahasan titik berat benda homogen. Soal No. 1 CaraCepat: Selain menggunakan teorema Pytagoras, soal di atas bisa menggunakan rumus diagonal ruang kubus. Jika sebuah kubus memiliki rusuk r, maka diagonal ruangnya dapat dirumuskan: d = r√3. Jarak titik D ke titik F merupakan panjang diagonal ruang kubus. Jika panjang rusuk 9 cm, maka: d = r√3. d = 9√3 cm. BeberapaCara Mencari Titik Koordinat GTK dan Peserta Didik Pada Dapodik 2019 Rilisnya Dapodik 2019 dengan fitur lama atau terbarunya,masih tetap belum optimal dengan belum bisanya para Operator mencari titik koordinat Guru maupun Siswa melalui fitur yang ada pada Aplikasi dapodiknya dan kalau di isi langsung secara online pada dapodiknya 1 Menentukan titik berat benda pada benda tak beraturan (heterogen). 2. Menganalisis penurunan rumus mengenai titik berat benda. 3. Mengetahui aplikasi titik berat dalam kehidupan sehari-hari. 4. Menganalisis hubungan antara titik berat dengan titik kesetimbangan. Sebuah benda terdiri atas banyak partikel. Dengancara yang sama, tentukan lagi titik berat masing-masing potongan karton Z1, dan Z2 dengan cara di atas (pengarisan dilakukan dibalik karton) k. Sambungkan kembali kedua potongan karton tadi seperti semula, dan letakkan pada kertas grafik tepat di jiplakan tadi. l. Tandailah letak Z1 dan Z2, kemudian tentukan koordinat Z1 dan Z2, hasilnya Setiaptitik pada bidang koordinat diwakili oleh pasangan bilangan x, y. x disebut absis dan y disebut ordinat. Misalnya: Titik K2, 3 → absisnya 2 dan ordinatnya 3. 5. Pada pencerminan diperoleh: a. jarak benda = jarak bayangan, b. bentuk benda = bentuk bayangan, c. besar benda = besar bayangan. 1. Caramenghitung koordinat titik berat bangun luasan seperti gambar yang diberikan pada soal dapat dihitung seperti pada cara berikut. Menghitung ordinat titik berat bangun: y o = A1 · Y1 - A2 · Y2 / 216 - 36 y o = 216 · 9 - 36 · 8 / 216 - 36 y o = 1944 - 288 / 180 yo = 1656 / 180 = 9 36 / 180 = 91/5 CaraMenentukan Jarak Dua Titik Pada Bidang Koordinat Cartesius - Sistem koordinat Cartesius mulai dikenal ketika Rene Descartes bersama rekannya Piere de Fermet memperkenalkannya sekitar pertengahan abad ke-17. Sistem koordinat ini terdiri atas garis mendatar, yaitu sumbu X dan garis tegak, yaitu sumbu Y. Letak sebuah atau lebih titik pada koordinat Cartesius diwakili oleh pasangan terurut (x RincianTitik Koordinat dari Gambar diatas adalah : Titik 1, koordinatnya adalah (X1,Y1) = (4,0), maka X1 = 4 dan Y1 = 0 Alat Berat Asuransi Bahan Bangunan Bekisting Besi Beton Cara Menghitung Durasi Pekerjaan Time Schedule; Kemudian dengan 0 sebagai pusat koordinat, hitung koordinat titik berat karton dengan menggunakan rumus. E. HASIL PENGAMATAN DAN PEMBAHASAN. Tabel Titik Berat Benda Homogen 2 Dimensi : Nama Benda. Untuk mencari titik berat dari suatu benda yang memiliki bentuk yang beraturan maupun tidak beraturan dapat dilakukan dengan cara yang sederhana Berikutini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. a.Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut. Lalumenentukan titik berat dari sumbu Y dengan cara dibawah ini. → y = → y = → y = → y = = 4,6. Jadi titik berat [4 ; 4,6]. Soal ini jawabannya B. Contoh soal 3. Perhatikan gambar bidang homogen dibawah ini. Bidang gabungan persegi panjang & segitiga. Koordinat titik berat benda bidang simetris terhadap titik O adalah. Mencariluas masing-masing. Kita cari luas masing-masing persegi panjang. Yang warna biru kita sebut A₁. Yang warna oranye kita sebut A₂. A₁ = 2 × 4 = 8. A₂ = 2 × 2 = 4. Mencari titik berat pada sumbu "x". Baca Juga. Beban 150kg diangkat dengan tuas, lengan beban dan lengan kuasa 1m dan 3m. PENGUKURANPOLIGON TERBUKA A.Latar Belakang Poligon disebut juga pengukuran segi banyak yang merupakan salah satu cara untuk menentukan satu titik dilapangan. B.Teori Singkat Dapat dilakukan dengan 3 cara: · Poligon bebas · Poligon terikat (terikat oleh syarat) · Poligon terikat sempurna Kegunaaan: · Untuk membuat kerangka peta · Pengukuran-pengukuran rencana jalan raya dan zx3b28E. Blog Koma – Puas kata sandang ini kita akan membahas materi Menentukan Titik berat Segitiga sama kaki. Sreg segitiga terdapat garis-garis singularis seperti garis api-api, garis tataran, garis untuk, dan garis berat, dimana rumus-rumus panjangnya bisa teman-padanan baca pada artikel “Panjang Garis-garis Istimewa puas Segitiga sama kaki” serta pembuktiannya pada artikel “Tinggi Garis Jarang pada Segitiga dan Pembuktiannya”. Garis berat segitiga terserah tiga yang ditarik dari masing-masing ketiga bintik tesmak segitiga. Perpotongan ketiga garis elusif tersebut pada sebuah noktah disebut aksen segitiga. Bagaimana cara Menentukan Titik Langka Segitiga sama tersebut? Untuk Menentukan Bintik Sukar Segitiga sama kaki, riuk satunya menggunakan penerapan materi vektor yaitu “proporsi vektor pada ruas garis”. Hal-hal nan harus kita kuasai untuk mempermudah mempelajari materi Menentukan Titik Berat Segitiga ini yakni “pengertian vektor”, “jenjang vektor”, “vektor posisi”, “kesamaan dua vektor, setimbang, dan segaris kelipatan”, “penjumlahan dan penyunatan vektor”, dan “perkalian vektor dengan skalar”. Peengertian garis berat dan aksen $ \spadesuit \, $ Pengertian garis terik segitiga Garis berat sebuah segitiga yaitu garis yang melangkaui sebuah titik sudut dan memberi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sebabat panjang. Pada gambar di atas, yang termasuk garis berat adalah garis AE, garis BD, dan garis CF. $ \spadesuit \, $ Pengertian noktah langka segitiga sama Titik berat segitiga sama adalah tutul perpotongan antara ketiga garis berat segitiga. Lega gambar di atas, titik P yakni titik berat segitiga sama Abjad. Perbandingan ruas garis plong aksen segitiga sama kaki Perhatikan ilustrasi lembaga di atas, masing-masing garis musykil terhadap titik sulit titik P memiliki proporsi $ 2 1 $ yaitu $ AP PE = 2 1 $ , $ BP PD = 2 1 $, dan $ CP PF = 2 1 $. Rumus menentukan titik rumpil segitiga $ \clubsuit \, $ Vektor di R$^2$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing noktah sudutnya $ Ax_1,y_1 $ , $ Bx_2,y_2 $ , dan $ Cx_3,y_3 $. Bintik rumit segitiga Leter dapat kita tentukan dengan rumus Tonjolan $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right $ $ \clubsuit \, $ Vektor di R$^3$ Misalkan terletak segitiga sama Fonem dengan koordinat masing-masing noktah sudutnya $ Ax_1,y_1,z_1 $ , $ Bx_2,y_2,z_2 $ , dan $ Cx_3,y_3,z_3 $. Tonjolan segitiga ABC boleh kita tentukan dengan rumus Aksen $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right $ Tulisan Untuk verifikasi teori di atas, silahkan tampin-teman lihat di bagian bawah setelah contoh-contoh soalnya. Teoretis cak bertanya Menentukan Titik Berat Segitiga 1. Tentukan koordinat aksen segitiga sama Fonem dengan koordinat masing-masing titik sudut $ A-1,2 $ , $ B3, -2 $ , dan $ C1,6 $ ! Penyelesaian *. Aksen $ \Delta$ABC yaitu $ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{-1 + 3 + 1}{3} , \frac{2 + -2 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 1 , 2 \right \end{align} $ Jadi, titik runyam segitiga Lambang bunyi adalah $ 1,2 . \, \heartsuit $. 2. Diketahui $ \Muara sungai$PQR dengan koordinat bintik sudut $ P1, -2,3 $ , $ Q5, 1, -1 $ , dan $ R-3, -5, 4 $. Tentukan koordinat tonjolan segitiga sama PQR tersebut! Perampungan $ \begin{align} \text{Tonjolan } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right \\ & = \left \frac{1 + 5 + -3}{3} , \frac{-2 + 1 + -5}{3} , \frac{3 + -1 + 4}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{-6}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 1 , -2 , 2 \right \end{align} $ Makara, tutul berat segitiga sama kaki PQR adalah $ 1 , -2 , 2 . \, \heartsuit $. 3. Segitiga KLM memiliki bintik ki perspektif $ Kp,1,2 $, $ L1, q, -1 $ , dan $ M3, 0 , r $. Kalau titik berat segitiga KLM yaitu $ 1,1,-1 $ , maka tentukan koordinat tutul sudut K, L, dan M serta tentukan nilai $ p + 2q + r^{2017} $! Penyelesaian *. Menentukan nilai $ p , q, r $ mulai sejak titik beratnya $ \begin{align} \text{Titik berat } & = 1,1,-1 \\ \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right & = 1,1,-1 \\ \left \frac{p+1+3}{3} , \frac{1+q+0}{3} , \frac{2+ -1 + r}{3} \right & = 1,1,-1 \\ \left \frac{p+4}{3} , \frac{1+q}{3} , \frac{1 + r}{3} \right & = 1,1,-1 \end{align} $ *. Berpokok ekualitas dua buah vektor, kita peroleh $ \frac{p+4}{3} = 1 \rightarrow p + 4 = 3 \rightarrow p = -1 $ $ \frac{1+q}{3} = 1 \rightarrow 1 + q = 3 \rightarrow q = 2 $ $ \frac{1 + r}{3} = -1 \rightarrow 1 + r = -3 \rightarrow r = -4 $ Sehingga koordinat masing-masing bintik sudut segitiga KLM yakni $ Kp,1,2 = -1,1,2 $ , $ L1, q, -1 = 1, 2, -1 $, dan $ M3, 0 , r = 3, 0 , -4 $. *. Menentukan nilai $ p + 2q + r^{2017} $ $ p + 2q + r^{2017} = -1 + + -4^{2017} = -1^{2017} = -1 $. Jadi, nilai $ p + 2q + r^{2017} = -1 . \, \heartsuit $ 4. Diketahui persegipanajng ABCD dengan $ A0,0 $ , $ B3,0 $ , $ C3,6 $ , dan $ D0,6 $. Sekiranya titik P ialah aksen segitiga sama ABC dan bintik Q merupakan bintik berat segitiga ACD, maka tentukan a. Panjang PQ, b. Apakah titik P dan Q terdapat pada satah diagonal BD? Perampungan *. Ilustrasi susuk. a. Pangkat PQ, -. Menentukan titik elusif segitiga Leter $ \begin{align} \text{Bintik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{0 + 3 + 3}{3} , \frac{0 + 0 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{6}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 2 , 2 \right \end{align} $ sehingga noktah P2,2 -. Menentukan titik berat segitiga ACD $ \begin{align} \text{Titik musykil } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 6 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{12}{3} \right \\ & = \left 1 , 4 \right \end{align} $ sehingga bintik Q1,4 -. Menentukan pangkat PQ dimana P2,2 dan Q1,4 $ PQ = \sqrt{1-2^2 + 4-2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $. Jadi, hierarki PQ adalah $ \sqrt{5} \, $ rincih panjang. b. Apakah titik P dan Q terdapat pada bidang diagonal BD? *. Untuk mengetahui terletak atau tidaknya titik pada sebuah garis, cuku kita cek apakah titik-titik tersebut segaris kolinear atau tidak. Titik K, L , dan M segaris jika $ \vec{KL} = k \vec{LM} $ salah suatu vektor yakni kelipatan dari vektor yang lainnya. -. Apakah titik $ B3,0 $ , $ P2,2 $ dan $ D0,6 $ segaris? mari kita cek $ \begin{align} \vec{BP} & = k \vec{PD} \\ \vec{p} – \vec{b} & = k \vec{d} – \vec{p} \\ 2,2 – 3,0 & = k 0,6 – 2,2 \\ -1, 2 & = k -2 , 4 \\ -1, 2 & = -2k , 4k \end{align} $ Kita terima $ -2k = -1 \rightarrow k = \frac{1}{2} $ $ 4k = 2 \rightarrow k = \frac{1}{2} $ Karena terdapat kredit $ k $ yang sebabat maka dolan $ \vec{BP} = k \vec{PD} \rightarrow \vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{PD} $ , sehingga titik P segaris dengan titik B dan D, artinya aksen P terdapat lega latar diagonal BD. -. Apakah titik $ B3,0 $ , $ Q1,4 $ dan $ D0,6 $ segaris? mari kita cek $ \begin{align} \vec{BQ} & = n \vec{QD} \\ \vec{q} – \vec{b} & = n \vec{d} – \vec{q} \\ 1,4 – 3,0 & = falak 0,6 – 1,4 \\ -2, 4 & = t -1 , 2 \\ -2, 4 & = -n , 2n \end{align} $ Kita peroleh $ -lengkung langit = -2 \rightarrow ufuk = 2 $ $ 2n = 4 \rightarrow n = 2 $ Karena terwalak nilai $ n $ yang sama maka berlaku $ \vec{BQ} = cakrawala \vec{QD} \rightarrow \vec{BQ} = 2 \vec{QD} $ , sehingga titik Q segaris dengan titik B dan D, artinya bintik sulit Q terwalak pada bidang diagonal BD. Jadi, kesimpulannya bintik elusif P dan Q terletak puas rataan diagonal BD. $ \spadesuit \, $ Pembuktian Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga *. Perhatikan ilustrasi gambar berikut. *. Cak bagi menentukan nisbah garis nan diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep skala vektor. *. Dengan konsep titik-bintik segaris kolinear , kita terima Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $. $ \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{p} $. -. Vektor $\vec{FP} $ segaris dengan $ \vec{FC} $ sehingga main-main kelipatan $ \vec{FP} = n\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FP}}{\vec{FC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{FP}}{\vec{PC}} = \frac{cakrawala}{1-n} $ -. Vektor $\vec{DP} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan $ \vec{DP} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DP}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{DP}}{\vec{PB}} = \frac{m}{1-m} $ -. Vektor $\vec{AP} $ segaris dengan $ \vec{AE} $ sehingga berperan kelipatan $ \vec{AP} = x\vec{AE} \rightarrow \frac{\vec{AP}}{\vec{AE}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AP}}{\vec{PE}} = \frac{x}{1-x} $ *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{FP}\vec{PC} = n 1-n $ $ \vec{AP} = \frac{n\vec{AC} + 1-kaki langit\vec{AF}}{n + 1-n} = \frac{falak\vec{p} + 1-n.\frac{1}{2}\vec{q}}{1} = falak\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} $. *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ berbunga $ \vec{DP}\vec{PB} = m 1-m $ $ \vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + 1-m\vec{AD}}{m + 1-m} = \frac{m\vec{q} + 1-m.\frac{1}{2}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} $. *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ berusul $ \vec{BE}\vec{EC} = 1 1 $ $ \vec{AP} = x \vec{AE} = x \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{1 + 1} = x\frac{\vec{q} + \vec{p}}{2} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} $. *. Ketiga buram vektor $ \vec{AP} $ di atas setinggi yakni $ \vec{AP} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} \, $ …. i $ \vec{AP} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} \, $ …. ii $ \vec{AP} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} \, $ …. iii *. Menentukan angka $ lengkung langit , m , x $ dengan menyeimbangkan koefisien vektor sejenis -. Bentuk i dan iii Koefisien $ \vec{p} \rightarrow lengkung langit = \frac{x}{2} $ Koefisien $ \vec{q} \rightarrow \frac{1-tepi langit}{2} = \frac{x}{2} $ Artinya $ n = \frac{1-n}{2} \rightarrow 2n = 1- n \rightarrow 3n = 1 \rightarrow n = \frac{1}{3} $. Nilai $ \frac{x}{2} = n \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{2}{3} $. -. Persii dan iii dan gunakan $ x = \frac{2}{3} $ Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = \frac{x}{2} \rightarrow m = \frac{\frac{2}{3} }{2} = \frac{1}{3} $ Sehingga kita cak dapat nilai $ n = \frac{1}{3}, m = \frac{1}{3} $ , dan $ x = \frac{2}{3} $ *. Menentukan perbandingan yang diminta $ \vec{AP}\vec{PE} = x 1-x = \frac{2}{3} 1 – \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ $ \vec{BP}\vec{PD} = 1 – m m = 1 – \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ $ \vec{CP}\vec{PF} = 1 – tepi langit falak = 1 – \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ Jadi, kita peroleh perbandingan $ AP PE = 2 1 $ , $ BP PD = 2 1 $, dan $ CP PF = 2 1 $. $ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus menentukan aksen segitiga Misalkan titik A, B, C, P, dan E punya vektor posisi masing-masing $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , $ \vec{c} $ , $ \vec{p} $ , dan $ \vec{e} $ . Paerhatikan lembaga berikut -. Perhatikan perbandingan $ \vec{BE}\vec{EC} = 1 1 $ , sehingga $ \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $. -. $\vec{AP} $ dan $ \vec{AE} $ segaris, sehingga $ \begin{align} \vec{AP} & = \frac{2}{3}\vec{AE} \\ \vec{p} – \vec{a} & = \frac{2}{3} \vec{e} – \vec{a} \\ \vec{p} & = \frac{2}{3} \vec{e} – \frac{2}{3}\vec{a} + \vec{a} \\ & = \frac{2}{3} . \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} \vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \end{align} $ Sehingga vektor posisi titik beratnya $ \vec{p} = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $. -. Vektor di R$^2$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat sendirisendiri titik sudutnya $ Ax_1,y_1 $ , $ Bx_2,y_2 $ , dan $ Cx_3,y_3 $. RUmus titik berat segitiganya $ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ & = \frac{1}{3} x_1,y_1 + x_2,y_2 + x_3,y_3 \\ & = \frac{1}{3} x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3 \\ & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \end{align} $ Jadi, terbukti bahwa rumus tonjolan yaitu Titik berat $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right $ -. Vektor di R$^3$ Misalkan terdapat segitiga Huruf dengan koordinat tiap-tiap tutul sudutnya $ Ax_1,y_1,z_1 $ , $ Bx_2,y_2,z_2 $ , dan $ Cx_3,y_3,z_3 $. RUmus aksen segitiganya $ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ & = \frac{1}{3} x_1,y_1,z_1 + x_2,y_2,z_2 + x_3,y_3,z_3 \\ & = \frac{1}{3} x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3, z_1 + z_2 + z_3 \\ & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right \end{align} $ Jadi, terbukti bahwa rumus noktah elusif adalah Tonjolan $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right $ Demikian pembahasan materi Menentukan Tonjolan Segitiga dan komplet-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan tuntutan vektor yaitu “pembuktian dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor”. Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Titik Berat Segitiga. Pada segitiga terdapat garis-garis istimewa seperti garis sumbu, garis tinggi, garis bagi, dan garis berat, dimana rumus-rumus panjangnya bisa teman-teman baca pada artikel "Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga" serta pembuktiannya pada artikel "Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya". Garis berat segitiga ada tiga yang ditarik dari masing-masing ketiga titik sudut segitiga. Perpotongan ketiga garis berat tersebut pada sebuah titik disebut titik berat segitiga. Bagaimana cara Menentukan Titik Berat Segitiga tersebut? Untuk Menentukan Titik Berat Segitiga, salah satunya menggunakan penerapan materi vektor yaitu "perbandingan vektor pada ruas garis". Hal-hal yang harus kita kuasai untuk mempermudah mempelajari materi Menentukan Titik Berat Segitiga ini yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "vektor posisi", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris kelipatan", "penjumlahan dan pengurangan vektor", dan "perkalian vektor dengan skalar". Peengertian garis berat dan titik berat $ \spadesuit \, $ Pengertian garis berat segitiga Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Pada gambar di atas, yang termasuk garis berat adalah garis AE, garis BD, dan garis CF. $ \spadesuit \, $ Pengertian titik berat segitiga Titik berat segitiga adalah titik perpotongan antara ketiga garis berat segitiga. Pada gambar di atas, titik P adalah titik berat segitiga ABC. Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga Perhatikan ilustrasi gambar di atas, masing-masing garis berat terhadap titik berat titik P memiliki perbandingan $ 2 1 $ yaitu $ AP PE = 2 1 $ , $ BP PD = 2 1 $, dan $ CP PF = 2 1 $. Rumus menentukan titik berat segitiga $ \clubsuit \, $ Vektor di R$^2$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ Ax_1,y_1 $ , $ Bx_2,y_2 $ , dan $ Cx_3,y_3 $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus Titik berat $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right $ $ \clubsuit \, $ Vektor di R$^3$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ Ax_1,y_1,z_1 $ , $ Bx_2,y_2,z_2 $ , dan $ Cx_3,y_3,z_3 $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus Titik berat $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right $ Catatan Untuk pembuktian teori di atas, silahkan teman-teman lihat di bagian bawah setelah contoh-contoh soalnya. Contoh soal Menentukan Titik Berat Segitiga 1. Tentukan koordinat titik berat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudut $ A-1,2 $ , $ B3, -2 $ , dan $ C1,6 $ ! Penyelesaian *. Titik berat $ \Delta$ABC yaitu $ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{-1 + 3 + 1}{3} , \frac{2 + -2 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 1 , 2 \right \end{align} $ Jadi, titik berat segitiga ABC adalah $ 1,2 . \, \heartsuit $. 2. Diketahui $ \Delta$PQR dengan koordinat titik sudut $ P1, -2,3 $ , $ Q5, 1, -1 $ , dan $ R-3, -5, 4 $. Tentukan koordinat titik berat segitiga PQR tersebut! Penyelesaian $ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right \\ & = \left \frac{1 + 5 + -3}{3} , \frac{-2 + 1 + -5}{3} , \frac{3 + -1 + 4}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{-6}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 1 , -2 , 2 \right \end{align} $ Jadi, titik berat segitiga PQR adalah $ 1 , -2 , 2 . \, \heartsuit $. 3. Segitiga KLM memiliki titik sudut $ Kp,1,2 $, $ L1, q, -1 $ , dan $ M3, 0 , r $. Jika titik berat segitiga KLM adalah $ 1,1,-1 $ , maka tentukan koordinat titik sudut K, L, dan M serta tentukan nilai $ p + 2q + r^{2017} $! Penyelesaian *. Menentukan nilai $ p , q, r $ dari titik beratnya $ \begin{align} \text{Titik berat } & = 1,1,-1 \\ \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right & = 1,1,-1 \\ \left \frac{p+1+3}{3} , \frac{1+q+0}{3} , \frac{2+ -1 + r}{3} \right & = 1,1,-1 \\ \left \frac{p+4}{3} , \frac{1+q}{3} , \frac{1 + r}{3} \right & = 1,1,-1 \end{align} $ *. Dari kesamaan dua buah vektor, kita peroleh $ \frac{p+4}{3} = 1 \rightarrow p + 4 = 3 \rightarrow p = -1 $ $ \frac{1+q}{3} = 1 \rightarrow 1 + q = 3 \rightarrow q = 2 $ $ \frac{1 + r}{3} = -1 \rightarrow 1 + r = -3 \rightarrow r = -4 $ Sehingga koordinat masing-masing titik sudut segitiga KLM yaitu $ Kp,1,2 = -1,1,2 $ , $ L1, q, -1 = 1, 2, -1 $, dan $ M3, 0 , r = 3, 0 , -4 $. *. Menentukan nilai $ p + 2q + r^{2017} $ $ p + 2q + r^{2017} = -1 + + -4^{2017} = -1^{2017} = -1 $. Jadi, nilai $ p + 2q + r^{2017} = -1 . \, \heartsuit $ 4. Diketahui persegipanajng ABCD dengan $ A0,0 $ , $ B3,0 $ , $ C3,6 $ , dan $ D0,6 $. Jika titik P adalah titik berat segitiga ABC dan titik Q adalah titik berat segitiga ACD, maka tentukan a. Panjang PQ, b. Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD? Penyelesaian *. Ilustrasi gambar. a. Panjang PQ, -. Menentukan titik berat segitiga ABC $ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{0 + 3 + 3}{3} , \frac{0 + 0 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{6}{3} , \frac{6}{3} \right \\ & = \left 2 , 2 \right \end{align} $ sehingga titik P2,2 -. Menentukan titik berat segitiga ACD $ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \\ & = \left \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 6 + 6}{3} \right \\ & = \left \frac{3}{3} , \frac{12}{3} \right \\ & = \left 1 , 4 \right \end{align} $ sehingga titik Q1,4 -. Menentukan panjang PQ dimana P2,2 dan Q1,4 $ PQ = \sqrt{1-2^2 + 4-2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $. Jadi, panjang PQ adalah $ \sqrt{5} \, $ satuan panjang. b. Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD? *. Untuk mengetahui terletak atau tidaknya titik pada sebuah garis, cuku kita cek apakah titik-titik tersebut segaris kolinear atau tidak. Titik K, L , dan M segaris jika $ \vec{KL} = k \vec{LM} $ salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. -. Apakah titik $ B3,0 $ , $ P2,2 $ dan $ D0,6 $ segaris? mari kita cek $ \begin{align} \vec{BP} & = k \vec{PD} \\ \vec{p} - \vec{b} & = k \vec{d} - \vec{p} \\ 2,2 - 3,0 & = k 0,6 - 2,2 \\ -1, 2 & = k -2 , 4 \\ -1, 2 & = -2k , 4k \end{align} $ Kita peroleh $ -2k = -1 \rightarrow k = \frac{1}{2} $ $ 4k = 2 \rightarrow k = \frac{1}{2} $ Karena terdapat nilai $ k $ yang sama maka berlaku $ \vec{BP} = k \vec{PD} \rightarrow \vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{PD} $ , sehingga titik P segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat P terletak pada bidang diagonal BD. -. Apakah titik $ B3,0 $ , $ Q1,4 $ dan $ D0,6 $ segaris? mari kita cek $ \begin{align} \vec{BQ} & = n \vec{QD} \\ \vec{q} - \vec{b} & = n \vec{d} - \vec{q} \\ 1,4 - 3,0 & = n 0,6 - 1,4 \\ -2, 4 & = n -1 , 2 \\ -2, 4 & = -n , 2n \end{align} $ Kita peroleh $ -n = -2 \rightarrow n = 2 $ $ 2n = 4 \rightarrow n = 2 $ Karena terdapat nilai $ n $ yang sama maka berlaku $ \vec{BQ} = n \vec{QD} \rightarrow \vec{BQ} = 2 \vec{QD} $ , sehingga titik Q segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat Q terletak pada bidang diagonal BD. Jadi, kesimpulannya titik berat P dan Q terletak pada bidang diagonal BD. $ \spadesuit \, $ Pembuktian Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga *. Perhatikan ilustrasi gambar berikut. *. Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor. *. Dengan konsep titik-titik segaris kolinear , kita peroleh Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $. $ \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{p} $. -. Vektor $\vec{FP} $ segaris dengan $ \vec{FC} $ sehingga berlaku kelipatan $ \vec{FP} = n\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FP}}{\vec{FC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{FP}}{\vec{PC}} = \frac{n}{1-n} $ -. Vektor $\vec{DP} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan $ \vec{DP} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DP}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{DP}}{\vec{PB}} = \frac{m}{1-m} $ -. Vektor $\vec{AP} $ segaris dengan $ \vec{AE} $ sehingga berlaku kelipatan $ \vec{AP} = x\vec{AE} \rightarrow \frac{\vec{AP}}{\vec{AE}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AP}}{\vec{PE}} = \frac{x}{1-x} $ *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{FP}\vec{PC} = n 1-n $ $ \vec{AP} = \frac{n\vec{AC} + 1-n\vec{AF}}{n + 1-n} = \frac{n\vec{p} + 1-n.\frac{1}{2}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} $. *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{DP}\vec{PB} = m 1-m $ $ \vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + 1-m\vec{AD}}{m + 1-m} = \frac{m\vec{q} + 1-m.\frac{1}{2}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} $. *. Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{BE}\vec{EC} = 1 1 $ $ \vec{AP} = x \vec{AE} = x \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{1 + 1} = x\frac{\vec{q} + \vec{p}}{2} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} $. *. Ketiga bentuk vektor $ \vec{AP} $ di atas sama yaitu $ \vec{AP} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} \, $ .... i $ \vec{AP} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} \, $ .... ii $ \vec{AP} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} \, $ .... iii *. Menentukan nilai $ n , m , x $ dengan menyamakan koefisien vektor sejenis -. Bentuk i dan iii Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = \frac{x}{2} $ Koefisien $ \vec{q} \rightarrow \frac{1-n}{2} = \frac{x}{2} $ Artinya $ n = \frac{1-n}{2} \rightarrow 2n = 1- n \rightarrow 3n = 1 \rightarrow n = \frac{1}{3} $. Nilai $ \frac{x}{2} = n \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{2}{3} $. -. Persii dan iii dan gunakan $ x = \frac{2}{3} $ Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = \frac{x}{2} \rightarrow m = \frac{\frac{2}{3} }{2} = \frac{1}{3} $ Sehingga kita peroleh nilai $ n = \frac{1}{3}, m = \frac{1}{3} $ , dan $ x = \frac{2}{3} $ *. Menentukan perbandingan yang diminta $ \vec{AP}\vec{PE} = x 1-x = \frac{2}{3} 1 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ $ \vec{BP}\vec{PD} = 1 - m m = 1 - \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ $ \vec{CP}\vec{PF} = 1 - n n = 1 - \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \frac{1}{3} = 2 1 $ Jadi, kita peroleh perbandingan $ AP PE = 2 1 $ , $ BP PD = 2 1 $, dan $ CP PF = 2 1 $. $ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus menentukan titik berat segitiga Misalkan titik A, B, C, P, dan E memiliki vektor posisi masing-masing $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , $ \vec{c} $ , $ \vec{p} $ , dan $ \vec{e} $ . Paerhatikan gambar berikut -. Perhatikan perbandingan $ \vec{BE}\vec{EC} = 1 1 $ , sehingga $ \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $. -. $\vec{AP} $ dan $ \vec{AE} $ segaris, sehingga $ \begin{align} \vec{AP} & = \frac{2}{3}\vec{AE} \\ \vec{p} - \vec{a} & = \frac{2}{3} \vec{e} - \vec{a} \\ \vec{p} & = \frac{2}{3} \vec{e} - \frac{2}{3}\vec{a} + \vec{a} \\ & = \frac{2}{3} . \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} \vec{b} + \vec{c} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \end{align} $ Sehingga vektor posisi titik beratnya $ \vec{p} = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} $. -. Vektor di R$^2$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ Ax_1,y_1 $ , $ Bx_2,y_2 $ , dan $ Cx_3,y_3 $. RUmus titik berat segitiganya $ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ & = \frac{1}{3} x_1,y_1 + x_2,y_2 + x_3,y_3 \\ & = \frac{1}{3} x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3 \\ & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right \end{align} $ Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah Titik berat $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right $ -. Vektor di R$^3$ Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ Ax_1,y_1,z_1 $ , $ Bx_2,y_2,z_2 $ , dan $ Cx_3,y_3,z_3 $. RUmus titik berat segitiganya $ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ & = \frac{1}{3} x_1,y_1,z_1 + x_2,y_2,z_2 + x_3,y_3,z_3 \\ & = \frac{1}{3} x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3, z_1 + z_2 + z_3 \\ & = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right \end{align} $ Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah Titik berat $ = \left \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right $ Demikian pembahasan materi Menentukan Titik Berat Segitiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan aplikasi vektor yaitu "pembuktian dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor". Pada dasarnya, menentukan titik berat benda homogen adalah konsep fisika yang menekankan pada keseimbangan benda. Benda homogen adalah benda yang sifat fisiknya homogen, yang artinya memiliki komposisi dan kualitas yang sama di seluruh bagian. Misalnya, sebuah kolom logam memiliki komposisi dan kualitas yang sama di seluruh bagiannya. Sehingga, jika ditaruh pada sebuah bidang datar, maka titik berat benda homogen tersebut akan berada pada pusat gravitasi benda tersebut. Cara menentukan titik berat benda homogen sebenarnya cukup sederhana. Pertama, Anda harus menentukan pusat gravitasi benda tersebut. Ini bisa dilakukan dengan menggambar lingkaran dari titik berat yang Anda tentukan. Kemudian, Anda dapat menghitung koordinat titik berat tersebut dengan menggunakan rumus yang sesuai. Rumus untuk menentukan titik berat adalah sebagai berikut X, Y, Z = A/N, B/N, C/N, dimana A, B, dan C adalah komponen koordinat titik berat, dan N adalah jumlah titik berat yang ditentukan. Tentukan Koordinat Titik Berat Pada Gambar DisampingGambar Grafik Titik BeratKesimpulan Tentukan Koordinat Titik Berat Pada Gambar Disamping Untuk menentukan koordinat titik berat pada gambar disamping, Anda harus menghitung dulu jumlah titik berat yang ada. Misalnya, jika Anda melihat gambar disamping, maka Anda akan melihat ada empat titik berat. Pada contoh ini, N adalah empat. Kemudian, Anda harus menghitung komponen koordinat titik berat menggunakan rumus yang disebutkan di atas. Jadi, pada contoh ini, Anda harus menghitung A, B, dan C. Untuk menghitung A, Anda harus menjumlahkan semua titik berat di sumbu X. Jadi, jika titik A adalah 1, 0, 0, titik B adalah 2, 0, 0, titik C adalah 3, 0, 0, dan titik D adalah 4, 0, 0, maka A adalah 10. Kemudian, untuk menghitung B dan C, Anda harus melakukan hal yang sama dengan sumbu Y dan Z. Setelah Anda menghitung A, B, dan C, Anda dapat menghitung koordinat titik berat dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya. Jadi, dalam contoh ini, koordinat titik beratnya adalah 0, 0. Gambar grafik titik berat adalah grafik yang menampilkan titik berat benda homogen yang telah ditentukan. Grafik ini akan membantu Anda untuk memvisualisasikan titik berat benda tersebut sehingga Anda dapat mengidentifikasi dengan mudah lokasi titik berat benda tersebut. Grafik titik berat ini juga akan membantu Anda untuk menghitung ketinggian titik berat benda tersebut. Ini berguna jika Anda ingin mengetahui seberapa tinggi titik berat benda berada di atas bidang datar. Misalnya, jika Anda ingin mengetahui berapa ketinggian titik berat benda tersebut, Anda dapat menggunakan grafik titik berat ini untuk menghitungnya. Kesimpulan Dari penjelasan di atas, Anda sekarang sudah tahu bagaimana cara menentukan koordinat titik berat benda homogen pada gambar. Untuk menentukan koordinat titik berat, Anda harus menghitung dulu jumlah titik berat yang ada, lalu menghitung komponen koordinatnya dengan menggunakan rumus yang sesuai. Setelah itu, Anda dapat menghitung koordinat titik berat dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan di atas. Selain itu, Anda juga dapat menggambar grafik titik berat untuk memvisualisasikan titik berat benda tersebut. Grafik titik berat ini akan membantu Anda untuk memahami lokasi titik berat benda tersebut, serta untuk menghitung ketinggian titik berat benda tersebut di atas bidang datar. Dengan demikian, itulah cara menentukan koordinat titik berat benda homogen pada gambar. Semoga informasi ini bermanfaat bagi Anda yang sedang mempelajari tentang konsep fisika. Semua benda yang ada di permukaan bumi dipengaruhi oleh percepatan yang mengarah ke pusat bumi yang disebut gravitasi disimbolkan g. Percepatan inilah yang menyebabkan benda bermassa mengalami gaya berat yang arahnya ke pusat bumi. Gaya Berat W = m x g Sebuah benda dapat sobat anggap tersusun atas partikel-partikel berukuran kecil yang mempunyai berat. Resultan dari berat partikel-partikel kecil itu membentuk resultan gaya berat yang mempunyai titik tangkap. Titik tangkap dari resultan gaya tersebut disebut titik berat benda. Dengan demikian dapat didefinisikan bahwa titik berat suatu benda merupakan titik tangkap resultan semua gaya berat yang bekerja pada setiap partikel penyusun benda tersebut. Bagaimana Menetukan Titik Berat Suatu Benda? Coba sobat perhatikakan gambar di bawah di atas. Misalkan ada sebuah benda tegar yang sobat bagi-bagi menjadi beberapa bagian-bagian yang lebih kecil. Bagian-bagian tersebut kemudian kita sebut dengan partikel. Jika kita namakan partikel tersebut partikel 1,2,3,…, n dan masing-masing memiliki berat W1, W2, W3, …, Wn dan masing-masing memiliki titik tangkap gaya berat di x1,y1,x2,y2,x3,y3,….,xn,yn. Setiap partikel akan menghasilkan suatu momen gaya terhadap titik asal koordinat yang besarnya sama dengan perkalian gaya berat massa x g dikali dengan lengan momennya x. 1 = W1 . x1 2 = W2 . x2 3 = W3 . x3 n = Wn . xn Sekarang kita akan coba menentukan koordinat gaya berat W yang akan menghasilkan efek yang sama dengan semua pada semua partikel-partikel yang menyusunnya. Dari momen gaya total yang dihasilkan oleh W yang bekerja pada titik berat misal xo dirumuskan o = W. xo = W1 . x1 + W2 . x2 + W3 . x3 + … + Wn . xn karena W = W1+ W2+ W3+ … + Wn maka didapat rumus titik berat benda seandainya benda dan sumbu-sumbu pembandinganya sumbu x dan sumbu y diputar 90 derajat maka gaya gravitasi akan berputar 90 derajat pula. Tidak ada perubahan sedikitpun pada berat total benda. Tetapi besarnya momen gaya dari tiap partikel akan berubah karena lengan momennya bukan lagi jark x dari titik pusat melainkn jarak y dari titik pusat. Jika titik berat benda pada sumbu y adalah yo maka cara menentukan posisi yo bisa menggunakan rumus Dari kedua rumus di atas, sobat bisa perhatikan kalau dari rumus W = sehingga W1 = W2 = dan seterusnya dengan demikian variable g dapat kita coret sehingga kita bisa mencari titik berat benda dari massa partikel dengan menggunakan rumus Keterangan Rumus xo = absis x dari titik berat benda yo = ordinat y dari titik berat benda mi = massa partikel ke-i xi = absis titik tangkap dari partikel ke-i yi = ordinat titik tangkap dari partikel ke-i Titik Berat Benda Homogen Berdimensi Tiga Ada hubungan antar massa dan volume m = ρV dengan ρ adalah massa jenis benda. Dengan demikian untuk setiap partikel m1 = ρ1 . v1, m2 = ρ2 . v2, dan seterusnya, sehingga absis dari titik berat benda dapat dihitung dengan rumus karena ρ rho benda sama, maka bisa dicoret, menghasilkan persamaan Untuk memudahkan sobat mencari titik berat dari benda ruang dimensi tiga berikut tabel rumus Titik berat benda pejal homogen berdimensi tiga Silinder Pejal yo = 1/2 t v = 1/2 πR2 t t = tinggi silinder R = jari-jari lingkaran alas Prisma Pejal Beraturan Letak titik berat z pada titik tengah garis z1 dan z3 yo = 1/2 l V = luas alas x tinggi z1 = titik berat bidang alas z2 = titip berat bidang atas l = panjang sisi tegak v = volume prisma Limas Pejal Beraturan yo = 1/4 TT’ = 1/4 t V = 1/3 x luas alas x tinggi TT’ = t = tinggi limas beraturan Kerucut Pejal yo = 1/4 t V = 1/3 πR2 t t = tinggi kerucut R = jari-jari alas Setengah Bola yo = 3/8 R V = 4/6 πR3 R = jari-jari bola Contoh Soal Misal sobat punya sebuah benda pejal yang tersusun dari 2 buah bangun yaitu sebuah balok dan sebuah limas segi empat dengan bentuk seperti gambar di bawah ini Bangun I = kubus homogen dengan rusuk 10 m Bandun II = limas pejal homogen dengan tinggi 8 m dana alas sesuai gambar Pertanyaannya, dimana letak titik berat dari benda pejal tersebut? a. 5,93 m dari alas bawah kubus d. 6 m dari alas bawah kubus b. 5 m dari alas bawah kubus e. 6,47 m dari alas bawah kubus c. 4,5 m dari alas bawah kubus Jawab Kita uraikan masing-masing bangun Bangun I Kubus y1 = 1/2 x panjang rusuk y1 = 1/2 x 10 = 5 m Volume = 10 x 10 x 10 = 1000m3 Bangun II Limas Karena titik berat kita hitung berdasarkan suatu acuan tetap titik 0,0 dan ditanyakan titik berat dari bawah alas kubus maka, y2 = 10 + 1/4 tinggi limas lihat gambar y2 = 10 + . 12 y2 = 12 m Volume = 1/3 x 10 x 10 x 8 = 800/3 = 266,67 m3 Titik berat dari alas bawah kubus yo = + yo = 5000 + 3200/1000+266,67 yo = 8200/1266,67 = 6,47 m Jadi letak titik berat benda adalah 6,47 meter dari alas bawah kubus. Okey sobat, lain kesempatan kita akan bahas juga mengenai titik berat benda untuk benda homogen dua dimensi, benda beruang, dan juga kurva homogen.

cara menghitung koordinat titik berat